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1. 합성함수 

(1) 정의 : 두 함수 f: X→Y, y=f(x), g: Y→Z, z=g(y) 에 대하여 

f와 g의 합성함수 를 : X→Z, 로 정의한다. 

즉, 

(2) 합성함수의 성질

1. (일반적으로 교환법칙이 성립하지 않는다.)
   
   
2. (결합법칙)
   
   
3. (항등함수 I)

2. 역함수

(1) 정의 : 함수 f: X→Y가 일대일대응 (전단사함수) 일때, Y의 임의의 원소 y에 f(x)=y가 되는 X의 원소 x를 대응시키는 

Y에서 X로의 함수를 f의 역함수라 하고, 로 나타낸다. 

(2) 역함수를 구하는 방법

1. y = f(x)가 일대일대응인가를 확인
   
   
2. y= f(x) 를 x에 관해 정리하여 x=g(y) 의 꼴로 고친다.
   
   
3. x와 y를 바꾸어 y=g(x) 의 꼴로 나타낸다. 
   
   의 정의역은 f의 치역, 
   
   의 치역은 f의 정의역

(3) 역함수의 성질

1. 
   
   
2. 이면 
   
   
3. (주의할 것)
   
   
4. 
   
   
5. 함수 f의 그래프와 그 역함수 의 그래프는 직선 y=x 에 대하여 대칭이다. 

1. 함수의 종류

(1) 일대일 함수(단사함수) : X의 임의의 두 원소 에 대하여 이면 인 함수

(2) X 에서 Y 위로의(on) 함수(전사함수) : 치역과 공역이 일치하는 함수

(3) 일대일대응(전단사함수)

1. 치역과 공역이 같고
   
   
2. X의 임의의 두 원소 에 대하여 이면 인 함수
   
   

(4) 항등함수 : 함수 f: X→Y 에서 

1. X = Y 이고 
   
   
2. X의 임의의 원소 x에 대하여 인 함수
   
   

(5) 상수함수 : X의 모든 원소가 Y의 한 원소에만 대응하는 함수

2. 함수의 고유 성질

(1) 일차함수 y = ax : f(x+y) = f(x)+f(y)

   : f(ax+by) = af(x)+bf(y)

(2) 지수함수 

(3) 로그함수

원순열

(1) 정의 : 서로 다른 n개의 원소를 원형으로 배열하는 순열을 원순열이라 한다

① 서로 다른 n개의 원소 전부를 배열하는 원순열의 수는 

② 서로 다른 n개의 원소중 r개를 택하여 원형으로 배열하는 방법의 수는 

(2) 원순열의 변형

① 염주순열 : 뒤집어 놓을 수 있는 원순열 

② 사각순열: 서로 다른 n의 원소를 사각형으로 배열하는 방법 (원순열)×(고정점의 수)

 예) (8-1)! × 4 

(3) 같은 것이 들어있는 원순열

 흰공 m개, 검은공 n개 (단, m, n은 서로소)를 원형으로 배열하는 방법의 수는 => 

1. 순열

1. 정의 : n개에서 r개 택한 순열(Permutation)의 수를 
   
   이라 한다. 
   
   (단, n≥r)
   
   (ⅰ) 
   
   
       
   
   (ⅱ) 
   
   
   
   
   
   (ⅲ) 
   
   (직순열)은 
   
     (1) 일렬로 배열하는 경우
   
     (2) 순서를 생각하는 경우
   
     (3) 중복을 불허하는 자리수의 경우 등에 사용된다. 
   
   
2.  인접순열(이웃순열)
   
   (1) 인접할 때 : 인접하는 것들을 묶어서 하나로 생각하여 배열하고, 묶인 부분 자체 내에서의 순열의 수를 곱한다. 
   
   (2) 인접하지 못할 때 : 인접 가능한 것을 먼저 배열하고, 그 사이사이에 인접하지 못하는 것들을 배열하는 순열의 수를 곱한다.
   
   
3. 교대순열
   
   남녀 같은 수를 교대로 세울 때는 '두가지 경우'로 나누어 생각한다. 
   
   예) 남자 n명, 여자 n명을 남녀교대로 일렬로 세우는 방법 => n!×n!×2
   
   
4. 적어도 하나의 처리방법: 여사건을 찾아라. 
   
   (구하는 경우의 수) = (전체) - (여사건)

2. 대표적인 경우의 수

 꼴의 부정방정식의 해

 계수가 큰 항을 기준으로 생각한다. 

(2) 지불방법, 지불금액의 수

100원권 p장, 10원권 q장, 1원권 r장이 있을 때

1. 지불 방법의 수: (p+1)(q+1)(r+1)-1 가지
2. 지불금액의 수
   (1) 화폐액면이 중복되지 않을때
   
   (p+1)(q+1)(r+1)-1 가지 
   
   (2)화폐액면이 중복될 때
   
   작은 액면으로 통일한 후 계산 (저액권 몇장의 합이 고액권과 일치하는 경우)
   
   ex) 100원권 3장,50원권 2장, 10원권 1장으로 지불할 수 있는 금액의 수는?
   
   {(6+2)+1}(1+1)-1 = 17가지 
   
   
3. 틀리는 총 수
   
   1,2,3,…, n의 번호가 적힌 카드를 1,2,3,…, n의 번호가 적힌 봉투에 넣을 때, 각 카드가 
   자기 번호의 봉투에 들어가지 않는 모든 경우의 수는 ?
   
   
   
   
4. n! 끝자리의 0의 개수: n을 5로 나눈 몫이 p, 그 몫을 다시 5로 나눈 몫이 q,…라고 할때, 
   
   p+q+…(개) <=> (n! -1 ) 의 끝자리의 9의 갯수.

1. 합의 법칙, 곱의 법칙

사건 A,B가 일어나는 경우의 수를 각각 m,n 이라 할 때

(1) 합의 법칙 

1. 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때 
   A 또는 B가 일어나는 경우의 수는 m+n가지 
2. A와 B가 동시에 일어나는 경우의 수가 ℓ 가지일 때 
   A 또는 B가 일어나는 경우의 수는 m+n-ℓ가지 
    

(2) 곱의 법칙

사건 A, B가 동시에 일어나는 경우의 수는 m×n가지